Deux contraintes tirées du "problème des pesées" (ou "problème des douze pièces") : une contrainte formelle et une contrainte sémantique.
Ces deux textes illustrent le fait que l'on peut dériver des contraintes très diverses (et par là des textes très différents) d'une structure mathématique donnée ; il s'agit ici de la structure des solutions du "problème des pesées".
L'énoncé de ce problème et la discussion de ses solutions figurent dans la section Références. Il suffit pour le moment de savoir que ce problème fait intervenir douze pièces, que nous nommerons A, B, C..., L. Une solution du problème est un ensemble de trois pesées, où chaque pesée fait intervenir huit pièces (quatre sur chaque plateau de la balance).
Le premier texte, Liberté d'expression, repose sur la solution suivante :
| Plateau | gauche | droit |
|---|---|---|
| Pesée 1 | A B C D | E F G H |
| Pesée 2 | A B E F | C I J K |
| Pesée 3 | A E G I | F H J L |
Cette structure est transformée en une contrainte formelle de la façon suivante :
Noter que ceci impose des contraintes assez fortes sur le nombre de pieds de chaque mot. D'autre part, les changements de place des mots d'un vers à l'autre rendent pratiquement indispensable l'usage de mots pouvant avoir différentes natures grammaticales (pourquoi : conjonction et nom, savoir : nom et verbe).
Le deuxième texte, À l'arrêt, utilise une solution différente du même problème :
| Plateau | gauche | droit |
|---|---|---|
| Pesée 1 | A B C D | E F G H |
| Pesée 2 | A E I J | B C G K |
| Pesée 3 | B E F I | A H J L |
Cette structure est utilisée pour définir une contrainte sémantique : les lettres représentent non pas des mots, mais des objets ou des personnages du récit, selon la correspondance suivante :
A = le zazou au cou trop long.
B = le quidam qui le bouscule.
C = les autres voyageurs.
D = le chauffeur d'autobus.
E = le narrateur.
F = l'ami du narrateur.
G = le chapeau du zazou.
H = un arrêt d'autobus.
I = la place assise.
J = le pardessus du zazou.
K = le galon du chapeau du zazou.
L = l'inconnu ami du zazou.
L'histoire choisie est, à quelques détails près, celle que Raymond Queneau raconte de 99 façons différentes dans ses Exercices de style. Les trois pesées y sont représentées de la façon suivante :
Exemple : la première pesée comprend A, B, C, D à gauche et E, F, G, H à droite. Le premier paragraphe de l'histoire mentionne donc le zazou, le quidam, les voyageurs et le chauffeur qui se trouvent dans l'autobus, et le narrateur, son ami, le chapeau et l'arrêt d'autobus qui sont sur le trottoir. Il ne mentionne pas la place assise, le pardessus, le galon et l'inconnu. Il en va de même pour les deux autres paragraphes.
En plus des règles qui contraignent le contenu de l'histoire, ce texte respecte une contrainte formelle : ses lignes sont isocèles, comme cela apparaît à la fin de la section Références où il est reproduit avec des caractères de largeur fixe.
Ce problème bien connu s'énonce comme suit :
On vous donne douze pièces de monnaie d'apparence identique, en affirmant que l'une d'entre elles a un poids légèrement différent des autres, sans préciser si elle est plus lourde ou plus légère. Vous disposez d'une balance à deux plateaux supposée parfaite. En trois pesées ne faisant intervenir que les pièces données, vous devez trouver quelle pièce est différente des autres, et si elle est plus lourde ou plus légère:
Pour résoudre ce problème, nous introduisons la notion de cheminement. Le cheminement d'une pièce est la succession des positions qu'elle occupe au cours des trois pesées : G si elle est sur le plateau de gauche, D si elle est sur le plateau de droite, X si elle ne participe pas à cette pesée. Par exemple dans la solution utilisée par "Liberté d'expression" le cheminement de la pièce C est GDX.
À partir des résultats des trois pesées, il est facile de déterminer le cheminement de la pièce qui est différente des autres. Par exemple si à la première pesée la balance a penché à gauche, à la deuxième pesée elle était équilibrée, et à la troisième elle a penché à droite, on sait que la pièce recherchée a suivi soit le cheminement GXD (et alors elle est plus lourde que les autres), soit le cheminement DXG (et elle est plus légère que les autres).
Pour que les résultats des pesées permettent d'identifier sans ambiguïté la pièce recherchée, il faut donc que toutes les pièces aient des cheminements différents. Il faut aussi éviter que deux pièces aient des cheminements "opposés" (c'est-à-dire que l'une soit toujours dans le plateau de droite quand l'autre est dans le plateau de gauche et vice versa, comme GGD et DDG), car dans ce cas on ne peut pas savoir si une pièce est trop lourde ou l'autre est trop légère.
Le problème se ramène donc à affecter un cheminement à chaque pièce en respectant les règles suivantes :
On peut maintenant dresser la liste des 3x3x3 = 27 cheminements possibles et chercher à en sélectionner 12 satisfaisant ces quatre règles. En supprimant le cheminement interdit XXX, on peut regrouper les autres en 13 paires de cheminements opposés deux à deux.
Pesée 1 X X X X X X X X D G D G D G D G D G D G D G D G D G 2 X X D G D G D G X X X X X X D G D G D G G D G D G D 3 D G X X D G G D X X D G G D X X D G G D X X D G G DIl suffit alors de sélectionner un cheminement dans chaque paire sauf une, en veillant à respecter la règle n° 4. On constate rapidement que chaque pesée comporte nécessairement 4 pièces dans chaque plateau, et les solutions s'ensuivent.
Note : la démarche proposée ci-dessus commence par une phase d'analyse qui limite considérablement les tâtonnements à effectuer pour trouver une solution, mais ne les supprime pas complètement. Il est également possible de modéliser le problème par un système de trois équations linéaires à 12 inconnues, mais là encore sa résolution nécessite quelques tâtonnements. Si vous connaissez une méthode pour résoudre ce problème de façon entièrement analytique, cela m'intéresserait beaucoup que vous me la fassiez parvenir.
Texte reproduit dans une police de largeur fixe faisant apparaître les lignes isocèles.
Par un jour de canicule, vers midi, je me trouvais en compagnie d'un ami en train d'attendre un autobus de la ligne S à l'arrêt Porte Champerret. Lorsque le chauffeur arrêta enfin devant nous son véhicule j'aperçus sur la plate-forme arrière, au milieu de la foule des voyageurs, une espèce de zazou au cou démesurément long. Aussitôt après l'arrêt, il y eut une forte bousculade, et le zazou interpella violemment un quidam qui, en se précipitant vers la sortie, lui avait écrasé les pieds. Au moment de monter dans l'autobus, je compris la raison de sa colère en apercevant sur le trottoir un curieux chapeau, dont je devinai qu'il était tombé de sa tête haut perchée par la faute du quidam sans-gêne. Lorsque l'autobus démarra, j'entrevis par la fenêtre, au milieu des voyageurs en train de se disperser, ledit quidam qui tenait à la main ledit chapeau et l'agitait frénétiquement. Un bout de galon tressé en pendouillait lamentablement. Cherchant des yeux le propriétaire de l'objet je constatai qu'il avait entre-temps déniché une place libre où il s'était assis et ne semblait plus penser à l'incident. Il portait un pardessus élimé et mal coupé qui révélait le même manque de goût que son hideux couvre-chef. Deux heures plus tard, je me trouvais dans le même autobus S en compagnie du même ami quand, à mon grand étonnement, j'observai que la place où mon type s'était posé le matin était maintenant occupée par ce quidam qui l'avait si brutalement bousculé. Mais la coïncidence m'apparut vraiment inouïe quand, à l'arrêt de la gare Saint-Lazare, j'aperçus le zazou lui-même qui attendait un autre autobus en discutant avec un inconnu. J'eus tout juste le temps de saisir quelques bribes de leur conversation : il était question de réduire l'ouverture du col de son pauvre pardessus.
