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Cryptarithmes

Solution

Il y a 66 solutions :

0123456789
ARUINEF
502 + 852 = 1354
0123456789
ARUINEF
602 + 762 = 1364
0123456789
ARUNIEF
602 + 962 = 1564
0123456789
ARUINFE
702 + 672 = 1374
0123456789
ARUNIEF
702 + 872 = 1574
0123456789
ARUNIEF
702 + 972 = 1674
0123456789
ARUINFE
802 + 582 = 1384
0123456789
ARUNIFE
802 + 782 = 1584
0123456789
ARUNIEF
802 + 982 = 1784
0123456789
ARUNIFE
902 + 692 = 1594
0123456789
ARUNIFE
902 + 792 = 1694
0123456789
ARUNIFE
902 + 892 = 1794
0123456789
ARIUENF
403 + 843 = 1246
0123456789
ARIUENF
503 + 753 = 1256
0123456789
ARUIENF
503 + 953 = 1456
0123456789
ARIUFNE
703 + 573 = 1276
0123456789
ARUINEF
703 + 873 = 1576
0123456789
ARIUFNE
803 + 483 = 1286
0123456789
ARUINFE
803 + 783 = 1586
0123456789
ARUNIEF
803 + 983 = 1786
0123456789
ARUIFNE
903 + 593 = 1496
0123456789
ARUNIFE
903 + 893 = 1796
0123456789
ARIEUNF
304 + 934 = 1238
0123456789
ARIUEFN
504 + 754 = 1258
0123456789
ARIUEFN
604 + 764 = 1368
0123456789
ARUIENF
604 + 964 = 1568
0123456789
ARIUFEN
704 + 574 = 1278
0123456789
ARIUFEN
704 + 674 = 1378
0123456789
ARUIENF
704 + 974 = 1678
0123456789
ARIFUNE
904 + 394 = 1298
0123456789
ARUIFNE
904 + 694 = 1598
0123456789
ARUIFNE
904 + 794 = 1698
0123456789
NRIEUFA
395 + 835 = 1230
0123456789
NRIEUFA
495 + 745 = 1240
0123456789
NRIEUFA
495 + 845 = 1340
0123456789
NRIUEFA
695 + 765 = 1460
0123456789
NRIFUEA
795 + 475 = 1270
0123456789
NRIUFEA
795 + 675 = 1470
0123456789
NRUIEFA
795 + 875 = 1670
0123456789
NRIFUEA
895 + 385 = 1280
0123456789
NRIFUEA
895 + 485 = 1380
0123456789
NRUIFEA
895 + 785 = 1680
0123456789
IRNEFUA
496 + 546 = 1042
0123456789
RNIEUFA
496 + 846 = 1342
0123456789
IRNFEUA
596 + 456 = 1052
0123456789
RNIEUFA
596 + 756 = 1352
0123456789
RNIEUFA
596 + 856 = 1452
0123456789
RNIFUEA
796 + 576 = 1372
0123456789
RNIFUEA
896 + 486 = 1382
0123456789
RNIFUEA
896 + 586 = 1482
0123456789
IRENFUA
397 + 637 = 1034
0123456789
RIENUFA
397 + 837 = 1234
0123456789
RINEFUA
597 + 657 = 1254
0123456789
IRFNEUA
697 + 367 = 1064
0123456789
RINFEUA
697 + 567 = 1264
0123456789
RNIEUFA
697 + 867 = 1564
0123456789
RIFNUEA
897 + 387 = 1284
0123456789
RNIFUEA
897 + 687 = 1584
0123456789
IRENFUA
298 + 728 = 1026
0123456789
IREFNUA
498 + 548 = 1046
0123456789
RIENFUA
498 + 748 = 1246
0123456789
IRFENUA
598 + 458 = 1056
0123456789
RIENFUA
598 + 758 = 1356
0123456789
IRFNEUA
798 + 278 = 1076
0123456789
RIFNEUA
798 + 478 = 1276
0123456789
RIFNEUA
798 + 578 = 1376

Entrez un cryptarithme


S'il y a des chiffres dans le cryptarithme :

Qu'est-ce qu'un cryptarithme ?

Un cryptarithme (en anglais : cryptarithm, cryptarithmic, cryptarithmetic, alphametic, etc.) est une opération arithmétique dans laquelle chaque chiffre a été remplacé par une lettre. Il y a une correspondance bi-univoque entre lettres et chiffres : une même lettre représente toujours le même chiffre, deux lettres différentes représentent deux chiffres différents. Le but du jeu est, à partir de l'opération en lettres, de trouver une correspondance entre lettres et chiffres qui donne un résultat exact.

En général un cryptarithme se présente sous la forme d'une égalité, par exemple : ABC + ACD = CEE (dont une des solutions est : A→3, B→4, C→7, D→5, E→2, qui donne 347 + 375 = 722). Cependant, sur la présente page ce peut être une expression beaucoup plus générale.

Pour certains amateurs, un cryptarithme doit obligatoirement possèder une solution unique (une seule substitution des lettres par des chiffres donne une opération exacte). Les exemples de cette page ne respectent pas tous cette règle, lorsque c'est le cas ils sont marqués du symbole ¤.

Comment résoudre un cryptarithme ?

Prenons un exemple très simple :

         AB
      +  BA
      = CBC

Dans la colonne du milieu, on voit qu'en ajoutant A et B on obtient B. A ne peut pas valoir 0 car il est en tête du premier nombre (et d'ailleurs si A valait 0, dans la colonne de droite la somme B + 0 vaudrait B et non C). La seule possibilité est donc A→9 et il doit y avoir une retenue venant de la colonne de droite : B + 9 + 1(retenue) = B + 10 donne bien B, avec une retenue de 1. Le C de la colonne de gauche vient de cette retenue, donc C→1. En revenant à la colonne de droite, on voit que 9 + B = 11 (soit C, qui vaut 1, et une retenue de 1), donc B→2. Le cryptarithme est résolu : A→9, B→2, C→1 et l'opération 92 + 29 = 121 est exacte.

La résolution est habituellement beaucoup plus compliquée, tout en relevant du même principe général. On est souvent obligé de faire des hypothèses sur certaines valeurs, d'en tirer toutes les conséquences, puis de revenir en arrière si on aboutit à une contradiction.

Une méthode bien plus simple consiste à écrire le cryptarithme dans la case en haut de cette page, cliquer sur « Résoudre » et attendre quelques secondes que la ou les solutions s'affichent.

Quelques exemples

Les cryptarithmes les plus intéressants sont ceux dont les mots ont un rapport entre eux, voire forment une phrase. Le plus connu de ce genre est censé être une lettre envoyée par un étudiant désargenté à ses parents : SEND + MORE = MONEY ¤ (send more money signifie « envoyez plus d'argent » en anglais). Ci-dessous d'autres exemples qui ont été trouvés par des amis ou par moi-même. En cliquant sur un cryptarithme il sera automatiquement copié dans la case en haut de cette page et vous verrez sa solution. Le symbole ¤ signifie que la solution est unique. Le nom indiqué entre parenthèses est celui de la personne qui me l'a signalé, qui n'est pas forcément l'auteur. Si vous en trouvez d'autres qui vous semblent dignes d'intérêt, notamment s'ils ne sont pas de simples additions, envoyez-les moi.

Cryptarithmes arithmétiques

Un cas particulier très prisé des amateurs est celui des opérations écrites en toutes lettres, qui sont exactes aussi bien quand on les lit en français que quand on les interprète comme des cryptarithmes. Par exemple NEUF + UN + UN = ONZE est vrai, et le reste si on effectue les substitutions E→9, F→7, N→1, O→2, U→8, Z→4 pour obtenir 1987 + 81 + 81 = 2149. En voici d'autres exemples :

Quel est le plus long cryptarithme ?

Le 29 novembre 2005, Éric Angelini annonça qu'il avait découvert (avec l'aide de Don Reble) un cryptarithme à solution unique comportant plus de neuf septillions de termes ! Ce record est présenté et expliqué en détail sur le site d'Éric.

La question se posa alors de savoir s'il existait des cryptarithmes de longueur aussi grande que l'on veut. En s'appuyant sur le résultat précédent et sur la nomenclature de Conway et Wechsler qui permet de donner un nom à tous les nombres entiers sans aucune limite, Patrick Coilland a répondu positivement le 4 décembre 2005. Son cryptarithme extensible à l'infini se présente ainsi :

UN_TRILLINILLINILLI...NILLITRILLION + HUIT + ZERO + ZERO + ... + ZERO = UN_TRILLINILLINILLI...NILLITRILLION_HUIT
(Le caractère « souligné » relie les mots qui sont normalement séparés dans l'écriture des nombres mais doivent être accolés pour le cryptarithme.)

L'élément NILLI apparaît p fois dans chacun des grands nombres, et le mot ZERO apparaît 573065554043040430...40430881555640 fois (la suite 40430 figure p fois dans ce nombre). Pour chaque valeur de p on obtient un cryptarithme différent, dont la solution unique est :

0123456789
NZIHOELTRU

Trois jours plus tard, Patrick Coilland améliorait encore cette performance avec un cryptarithme extensible à l'infini n'utilisant pas le ZERO. Ce cryptarithme « parfait » (forme « classique » avec une somme à gauche et un seul terme à droite, solution unique, pas de ZERO et nombre de termes non limité) se présente ainsi :

UN + UN + ... + UN + SIX + SIX + ... + SIX + SIX_TRILLINILLINILLI...NILLIMILLIONS = SIX_TRILLINILLINILLI...NILLIMILLIONS_SIX_TRILLINILLINILLI...NILLIMILLIONS

où les nombres de UN, de SIX et de NILLI doivent respecter des relations précises qui sont explicitées au bas de la page déjà citée d'Éric Angelini.

D'autres sites

Il existe de très nombreux sites Web en anglais consacrés aux cryptarithmes, avec ou sans possibilité de les résoudre « en ligne ». Vous pouvez commencer par exemple par celui de Naoyuki Tamura puis suivre ses liens.

Robert B. Israel propose une applet pour résoudre les cryptarithmes (qu'il appelle « alphametic ») faisant intervenir les quatre opérations et les puissances.

Pour composer vos propres cryptarithmes avec les mots qui vous intéressent, voyez le site de Truman Collins. Il comprend un générateur de problèmes très puissant ainsi qu'une vaste collection de cryptarithmes, y compris certains trouvés dans la Bible ou les œuvres de Shakespeare.


© Nicolas Graner – 2004 & 2013

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Dernière modification le 12/10/2014.