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Cryptarithmes

Solution

Il y a plus de 100 solutions, voici les 100 premières :

0123456789
UILENMSTO
591 + 891 + 201 + 3223 = 4906
0123456789
UILENTSMO
891 + 591 + 201 + 3223 = 4906
0123456789
ILENMSUTO
591 + 891 + 271 + 3223 = 4976
0123456789
ILENTSUMO
891 + 591 + 271 + 3223 = 4976
0123456789
UIMLTENOS
381 + 581 + 401 + 6446 = 7809
0123456789
UITLMENOS
581 + 381 + 401 + 6446 = 7809
0123456789
IUMLTENOS
381 + 581 + 421 + 6446 = 7829
0123456789
IUTLMENOS
581 + 381 + 421 + 6446 = 7829
0123456789
SIOMULETN
321 + 821 + 541 + 7557 = 9240
0123456789
SIOTULEMN
821 + 321 + 541 + 7557 = 9240
0123456789
SIOMLUETN
321 + 821 + 561 + 7557 = 9260
0123456789
SIOTLUEMN
821 + 321 + 561 + 7557 = 9260
0123456789
UMIENOTLS
162 + 762 + 802 + 3883 = 5609
0123456789
UTIENOMLS
762 + 162 + 802 + 3883 = 5609
0123456789
MIEUNOTLS
162 + 762 + 842 + 3883 = 5649
0123456789
TIEUNOMLS
762 + 162 + 842 + 3883 = 5649
0123456789
SMILENUOT
182 + 982 + 362 + 4334 = 5860
0123456789
STILENUOM
982 + 182 + 362 + 4334 = 5860
0123456789
SMILENUOT
182 + 982 + 372 + 4334 = 5870
0123456789
STILENUOM
982 + 182 + 372 + 4334 = 5870
0123456789
SLIUENMTO
792 + 892 + 132 + 4114 = 5930
0123456789
SLIUENTMO
892 + 792 + 132 + 4114 = 5930
0123456789
SLIENUMTO
792 + 892 + 162 + 4114 = 5960
0123456789
SLIENUTMO
892 + 792 + 162 + 4114 = 5960
0123456789
OSIUMETNL
402 + 702 + 932 + 5995 = 8031
0123456789
OSIUTEMNL
702 + 402 + 932 + 5995 = 8031
0123456789
OSIMEUTNL
402 + 702 + 962 + 5995 = 8061
0123456789
OSITEUMNL
702 + 402 + 962 + 5995 = 8061
0123456789
ULISOMTEN
542 + 642 + 102 + 7117 = 8403
0123456789
ULISOTMEN
642 + 542 + 102 + 7117 = 8403
0123456789
LISOMTENU
542 + 642 + 192 + 7117 = 8493
0123456789
LISOTMENU
642 + 542 + 192 + 7117 = 8493
0123456789
SEUINOMTL
753 + 853 + 923 + 1991 = 4520
0123456789
SEUINOTML
853 + 753 + 923 + 1991 = 4520
0123456789
SEINOUMTL
753 + 853 + 963 + 1991 = 4560
0123456789
SEINOUTML
853 + 753 + 963 + 1991 = 4560
0123456789
OSEIMNUTL
403 + 703 + 963 + 2992 = 5061
0123456789
OSEITNUML
703 + 403 + 963 + 2992 = 5061
0123456789
OSEIMNTUL
403 + 703 + 983 + 2992 = 5081
0123456789
OSEITNMUL
703 + 403 + 983 + 2992 = 5081
0123456789
USEINLMOT
673 + 973 + 503 + 2552 = 4701
0123456789
USEINLTOM
973 + 673 + 503 + 2552 = 4701
0123456789
SEINLMOUT
673 + 973 + 583 + 2552 = 4781
0123456789
SEINLTOUM
973 + 673 + 583 + 2552 = 4781
0123456789
ULISENMTO
793 + 893 + 103 + 5115 = 6904
0123456789
ULISENTMO
893 + 793 + 103 + 5115 = 6904
0123456789
LUISENMTO
793 + 893 + 123 + 5115 = 6924
0123456789
LUISENTMO
893 + 793 + 123 + 5115 = 6924
0123456789
UOMITSELN
213 + 413 + 703 + 6776 = 8105
0123456789
UOTIMSELN
413 + 213 + 703 + 6776 = 8105
0123456789
OMITSELNU
213 + 413 + 793 + 6776 = 8195
0123456789
OTIMSELNU
413 + 213 + 793 + 6776 = 8195
0123456789
ULMIOSENT
243 + 943 + 103 + 6116 = 7405
0123456789
ULTIOSENM
943 + 243 + 103 + 6116 = 7405
0123456789
LMIOSENUT
243 + 943 + 183 + 6116 = 7485
0123456789
LTIOSENUM
943 + 243 + 183 + 6116 = 7485
0123456789
ULMIOSENT
243 + 943 + 103 + 7117 = 8406
0123456789
ULTIOSENM
943 + 243 + 103 + 7117 = 8406
0123456789
LMIOUSENT
243 + 943 + 153 + 7117 = 8456
0123456789
LTIOUSENM
943 + 243 + 153 + 7117 = 8456
0123456789
ULIOMTSEN
543 + 643 + 103 + 8118 = 9407
0123456789
ULIOTMSEN
643 + 543 + 103 + 8118 = 9407
0123456789
LUIOMTSEN
543 + 643 + 123 + 8118 = 9427
0123456789
LUIOTMSEN
643 + 543 + 123 + 8118 = 9427
0123456789
UMLIENSOT
184 + 984 + 304 + 5335 = 6807
0123456789
UTLIENSOM
984 + 184 + 304 + 5335 = 6807
0123456789
MULIENSOT
184 + 984 + 324 + 5335 = 6827
0123456789
TULIENSOM
984 + 184 + 324 + 5335 = 6827
0123456789
SMLOIUTEN
134 + 734 + 254 + 8228 = 9350
0123456789
STLOIUMEN
734 + 134 + 254 + 8228 = 9350
0123456789
SMLOIUTEN
134 + 734 + 264 + 8228 = 9360
0123456789
STLOIUMEN
734 + 134 + 264 + 8228 = 9360
0123456789
OEUMNISTL
305 + 805 + 925 + 1991 = 4026
0123456789
OEUTNISML
805 + 305 + 925 + 1991 = 4026
0123456789
OEMNISUTL
305 + 805 + 975 + 1991 = 4076
0123456789
OETNISUML
805 + 305 + 975 + 1991 = 4076
0123456789
OUEMINTSL
405 + 705 + 915 + 3993 = 6018
0123456789
OUETINMSL
705 + 405 + 915 + 3993 = 6018
0123456789
OUEMINTSL
405 + 705 + 925 + 3993 = 6028
0123456789
OUETINMSL
705 + 405 + 925 + 3993 = 6028
0123456789
USLMIENOT
385 + 985 + 205 + 6226 = 7801
0123456789
USLTIENOM
985 + 385 + 205 + 6226 = 7801
0123456789
SLMUIENOT
385 + 985 + 245 + 6226 = 7841
0123456789
SLTUIENOM
985 + 385 + 245 + 6226 = 7841
0123456789
UMSLITOEN
175 + 675 + 405 + 8448 = 9703
0123456789
UTSLIMOEN
675 + 175 + 405 + 8448 = 9703
0123456789
MUSLITOEN
175 + 675 + 425 + 8448 = 9723
0123456789
TUSLIMOEN
675 + 175 + 425 + 8448 = 9723
0123456789
UEONMLITS
426 + 726 + 506 + 1551 = 3209
0123456789
UEONTLIMS
726 + 426 + 506 + 1551 = 3209
0123456789
EONMLITUS
426 + 726 + 586 + 1551 = 3289
0123456789
EONTLIMUS
726 + 426 + 586 + 1551 = 3289
0123456789
USELNIOMT
876 + 976 + 406 + 3443 = 5701
0123456789
USELNIOTM
976 + 876 + 406 + 3443 = 5701
0123456789
SUELNIOMT
876 + 976 + 426 + 3443 = 5721
0123456789
SUELNIOTM
976 + 876 + 426 + 3443 = 5721
0123456789
USLENMITO
586 + 786 + 206 + 3223 = 4801
0123456789
USLENTIMO
786 + 586 + 206 + 3223 = 4801
0123456789
SLENMITOU
586 + 786 + 296 + 3223 = 4891
0123456789
SLENTIMOU
786 + 586 + 296 + 3223 = 4891

Entrez un cryptarithme


S'il y a des chiffres dans le cryptarithme :

Qu'est-ce qu'un cryptarithme ?

Un cryptarithme (en anglais : cryptarithm, cryptarithmic, cryptarithmetic, alphametic, etc.) est une opération arithmétique dans laquelle chaque chiffre a été remplacé par une lettre. Il y a une correspondance bi-univoque entre lettres et chiffres : une même lettre représente toujours le même chiffre, deux lettres différentes représentent deux chiffres différents. Le but du jeu est, à partir de l'opération en lettres, de trouver une correspondance entre lettres et chiffres qui donne un résultat exact.

En général un cryptarithme se présente sous la forme d'une égalité, par exemple : ABC + ACD = CEE (dont une des solutions est : A→3, B→4, C→7, D→5, E→2, qui donne 347 + 375 = 722). Cependant, sur la présente page ce peut être une expression beaucoup plus générale.

Pour certains amateurs, un cryptarithme doit obligatoirement possèder une solution unique (une seule substitution des lettres par des chiffres donne une opération exacte). Les exemples de cette page ne respectent pas tous cette règle, lorsque c'est le cas ils sont marqués du symbole ¤.

Comment résoudre un cryptarithme ?

Prenons un exemple très simple :

         AB
      +  BA
      = CBC

Dans la colonne du milieu, on voit qu'en ajoutant A et B on obtient B. A ne peut pas valoir 0 car il est en tête du premier nombre (et d'ailleurs si A valait 0, dans la colonne de droite la somme B + 0 vaudrait B et non C). La seule possibilité est donc A→9 et il doit y avoir une retenue venant de la colonne de droite : B + 9 + 1(retenue) = B + 10 donne bien B, avec une retenue de 1. Le C de la colonne de gauche vient de cette retenue, donc C→1. En revenant à la colonne de droite, on voit que 9 + B = 11 (soit C, qui vaut 1, et une retenue de 1), donc B→2. Le cryptarithme est résolu : A→9, B→2, C→1 et l'opération 92 + 29 = 121 est exacte.

La résolution est habituellement beaucoup plus compliquée, tout en relavant du même principe général. On est souvent obligé de faire des hypothèses sur certaines valeurs, d'en tirer toutes les conséquences, puis de revenir en arrière si on aboutit à une contradiction.

Une méthode bien plus simple consiste à écrire le cryptarithme dans la case en haut de cette page, cliquer sur « Résoudre » et attendre quelques secondes que la ou les solutions s'affichent.

Quelques exemples

Les cryptarithmes les plus intéressants sont ceux dont les mots ont un rapport entre eux, voire forment une phrase. Le plus connu de ce genre est censé être une lettre envoyée par un étudiant désargenté à ses parents : SEND + MORE = MONEY ¤ (send more money signifie « envoyez plus d'argent » en anglais). Ci-dessous d'autres exemples qui ont été trouvés par des amis ou par moi-même. En cliquant sur un cryptarithme il sera automatiquement copié dans la case en haut de cette page et vous verrez sa solution. Le symbole ¤ signifie que la solution est unique. Le nom indiqué entre parenthèses est celui de la personne qui me l'a signalé, qui n'est pas forcément l'auteur. Si vous en trouvez d'autres qui vous semblent dignes d'intérêt, notamment s'ils ne sont pas de simples additions, envoyez-les moi.

Cryptarithmes arithmétiques

Un cas particulier très prisé des amateurs est celui des opérations écrites en toutes lettres, qui sont exactes aussi bien quand on les lit en français que quand on les interprète comme des cryptarithmes. Par exemple NEUF + UN + UN = ONZE est vrai, et le reste si on effectue les substitutions E→9, F→7, N→1, O→2, U→8, Z→4 pour obtenir 1987 + 81 + 81 = 2149. En voici d'autres exemples :

Quel est le plus long cryptarithme ?

Le 29 novembre 2005, Éric Angelini annonça qu'il avait découvert (avec l'aide de Don Reble) un cryptarithme à solution unique comportant plus de neuf septillions de termes ! Ce record est présenté et expliqué en détail sur le site d'Éric.

La question se posa alors de savoir s'il existait des cryptarithmes de longueur aussi grande que l'on veut. En s'appuyant sur le résultat précédent et sur la nomenclature de Conway et Wechsler qui permet de donner un nom à tous les nombres entiers sans aucune limite, Patrick Coilland a répondu positivement le 4 décembre 2005. Son cryptarithme extensible à l'infini se présente ainsi :

UN_TRILLINILLINILLI...NILLITRILLION + HUIT + ZERO + ZERO + ... + ZERO = UN_TRILLINILLINILLI...NILLITRILLION_HUIT
(Le caractère « souligné » relie les mots qui sont normalement séparés dans l'écriture des nombres mais doivent être accolés pour le cryptarithme.)

L'élément NILLI apparaît p fois dans chacun des grands nombres, et le mot ZERO apparaît 573065554043040430...40430881555640 fois (la suite 40430 figure p fois dans ce nombre). Pour chaque valeur de p on obtient un cryptarithme différent, dont la solution unique est :

0123456789
NZIHOELTRU

Trois jours plus tard, Patrick Coilland améliorait encore cette performance avec un cryptarithme extensible à l'infini n'utilisant pas le ZERO. Ce cryptarithme « parfait » (forme « classique » avec une somme à gauche et un seul terme à droite, solution unique, pas de ZERO et nombre de termes non limité) se présente ainsi :

UN + UN + ... + UN + SIX + SIX + ... + SIX + SIX_TRILLINILLINILLI...NILLIMILLIONS = SIX_TRILLINILLINILLI...NILLIMILLIONS_SIX_TRILLINILLINILLI...NILLIMILLIONS

où les nombres de UN, de SIX et de NILLI doivent respecter des relations précises qui sont explicitées au bas de la page déjà citée d'Éric Angelini.

D'autres sites

Il existe de très nombreux sites Web en anglais consacrés aux cryptarithmes, avec ou sans possibilité de les résoudre « en ligne ». Vous pouvez commencer par exemple par celui de Naoyuki Tamura puis suivre ses liens.

Robert B. Israel propose une applet pour résoudre les cryptarithmes (qu'il appelle « alphametic ») faisant intervenir les quatre opérations et les puissances.

Pour composer vos propres cryptarithmes avec les mots qui vous intéressent, voyez le site de Truman Collins. Il comprend un générateur de problèmes très puissant ainsi qu'une vaste collection de cryptarithmes, y compris certains trouvés dans la Bible ou les œuvres de Shakespeare.


© Nicolas Graner – 2004 & 2013

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Dernière modification le 25/02/2014.