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Cryptarithmes

Solution

Il y a 77 solutions :

0123456789
ATHPSECB
4531 + 4531 = 9062
0123456789
ATHSPEBC
3541 + 3541 = 7082
0123456789
CTHESPAB
4351 + 4351 = 8702
0123456789
CTHSEPBA
3451 + 3451 = 6902
0123456789
CTHASPEB
4651 + 4651 = 9302
0123456789
CTHSPAEB
4851 + 4851 = 9702
0123456789
THSACEPB
4781 + 4781 = 9562
0123456789
CSTBHPAE
1852 + 1852 = 3704
0123456789
ATSHECBP
3582 + 3582 = 7164
0123456789
STBHACEP
1782 + 1782 = 3564
0123456789
EATSHBCP
3092 + 3092 = 6184
0123456789
ATSHEBCP
3592 + 3592 = 7184
0123456789
STBHAECP
1792 + 1792 = 3584
0123456789
APCTSEHB
4513 + 4513 = 9026
0123456789
CSBTEPHA
1453 + 1453 = 2906
0123456789
CTSPHAEB
4853 + 4853 = 9706
0123456789
EASTBHCP
2093 + 2093 = 4186
0123456789
APCSTEBH
3514 + 3514 = 7028
0123456789
CSBETPAH
1354 + 1354 = 2708
0123456789
ACSTEPBH
3564 + 3564 = 7128
0123456789
SCBTAPEH
1764 + 1764 = 3528
0123456789
HPACSTEB
4615 + 4615 = 9230
0123456789
HPCSTAEB
4815 + 4815 = 9630
0123456789
HEAPSTCB
4135 + 4135 = 8270
0123456789
HSBPETCA
1435 + 1435 = 2870
0123456789
HAPSTECB
4635 + 4635 = 9270
0123456789
HPSTACEB
4835 + 4835 = 9670
0123456789
HEASPTBC
3145 + 3145 = 6290
0123456789
HSBEPTAC
1345 + 1345 = 2690
0123456789
HSABPTEC
1645 + 1645 = 3290
0123456789
HASPTEBC
3645 + 3645 = 7290
0123456789
HSBPTAEC
1845 + 1845 = 3690
0123456789
HSPTABEC
3845 + 3845 = 7690
0123456789
HSBCETPA
1465 + 1465 = 2930
0123456789
HCSTPAEB
4865 + 4865 = 9730
0123456789
HESABTCP
2185 + 2185 = 4370
0123456789
HSBETCPA
1485 + 1485 = 2970
0123456789
HSETBCPA
3485 + 3485 = 6970
0123456789
HASTECPB
4685 + 4685 = 9370
0123456789
PCHSTBAE
3906 + 3906 = 7812
0123456789
APHCSETB
4516 + 4516 = 9032
0123456789
AHPSETCB
4536 + 4536 = 9072
0123456789
ASHBPETC
1546 + 1546 = 3092
0123456789
AHSPETBC
3546 + 3546 = 7092
0123456789
CHESPTAB
4356 + 4356 = 8712
0123456789
CHSPTAEB
4856 + 4856 = 9712
0123456789
EAHSCTPB
4076 + 4076 = 8152
0123456789
EHASCTPB
4176 + 4176 = 8352
0123456789
AHSETCPB
4586 + 4586 = 9172
0123456789
PCSHBATE
2807 + 2807 = 5614
0123456789
PCSHBTAE
2907 + 2907 = 5814
0123456789
PSCHBATE
2817 + 2817 = 5634
0123456789
PSCHBTAE
2917 + 2917 = 5834
0123456789
SPBHCATE
1827 + 1827 = 3654
0123456789
SPBHCTAE
1927 + 1927 = 3854
0123456789
PCSABHET
2708 + 2708 = 5416
0123456789
APCSEHTB
4518 + 4518 = 9036
0123456789
PSCABHET
2718 + 2718 = 5436
0123456789
SPBACHET
1728 + 1728 = 3456
0123456789
APSEHCTB
4538 + 4538 = 9076
0123456789
ASBPEHTC
1548 + 1548 = 3096
0123456789
ASPEHBTC
3548 + 3548 = 7096
0123456789
CSEBPHAT
2358 + 2358 = 4716
0123456789
EASBCHPT
2078 + 2078 = 4156
0123456789
ESABCHPT
2178 + 2178 = 4356
0123456789
SBECHPTA
1478 + 1478 = 2956
0123456789
PCESABHT
3209 + 3209 = 6418
0123456789
PCSEBAHT
2309 + 2309 = 4618
0123456789
PCASEBHT
3609 + 3609 = 7218
0123456789
PCSABEHT
2709 + 2709 = 5418
0123456789
PSCABEHT
2719 + 2719 = 5438
0123456789
SPBACEHT
1729 + 1729 = 3458
0123456789
CSEBPAHT
2359 + 2359 = 4718
0123456789
EASCBPHT
2069 + 2069 = 4138
0123456789
EASBCPHT
2079 + 2079 = 4158
0123456789
EASCBPHT
3079 + 3079 = 6158
0123456789
ESABCPHT
2179 + 2179 = 4358

Entrez un cryptarithme


S'il y a des chiffres dans le cryptarithme :

Qu'est-ce qu'un cryptarithme ?

Un cryptarithme (en anglais : cryptarithm, cryptarithmic, cryptarithmetic, alphametic, etc.) est une opération arithmétique dans laquelle chaque chiffre a été remplacé par une lettre. Il y a une correspondance bi-univoque entre lettres et chiffres : une même lettre représente toujours le même chiffre, deux lettres différentes représentent deux chiffres différents. Le but du jeu est, à partir de l'opération en lettres, de trouver une correspondance entre lettres et chiffres qui donne un résultat exact.

En général un cryptarithme se présente sous la forme d'une égalité, par exemple : ABC + ACD = CEE (dont une des solutions est : A→3, B→4, C→7, D→5, E→2, qui donne 347 + 375 = 722). Cependant, sur la présente page ce peut être une expression beaucoup plus générale.

Pour certains amateurs, un cryptarithme doit obligatoirement possèder une solution unique (une seule substitution des lettres par des chiffres donne une opération exacte). Les exemples de cette page ne respectent pas tous cette règle, lorsque c'est le cas ils sont marqués du symbole ¤.

Comment résoudre un cryptarithme ?

Prenons un exemple très simple :

         AB
      +  BA
      = CBC

Dans la colonne du milieu, on voit qu'en ajoutant A et B on obtient B. A ne peut pas valoir 0 car il est en tête du premier nombre (et d'ailleurs si A valait 0, dans la colonne de droite la somme B + 0 vaudrait B et non C). La seule possibilité est donc A→9 et il doit y avoir une retenue venant de la colonne de droite : B + 9 + 1(retenue) = B + 10 donne bien B, avec une retenue de 1. Le C de la colonne de gauche vient de cette retenue, donc C→1. En revenant à la colonne de droite, on voit que 9 + B = 11 (soit C, qui vaut 1, et une retenue de 1), donc B→2. Le cryptarithme est résolu : A→9, B→2, C→1 et l'opération 92 + 29 = 121 est exacte.

La résolution est habituellement beaucoup plus compliquée, tout en relevant du même principe général. On est souvent obligé de faire des hypothèses sur certaines valeurs, d'en tirer toutes les conséquences, puis de revenir en arrière si on aboutit à une contradiction.

Une méthode bien plus simple consiste à écrire le cryptarithme dans la case en haut de cette page, cliquer sur « Résoudre » et attendre quelques secondes que la ou les solutions s'affichent.

Quelques exemples

Les cryptarithmes les plus intéressants sont ceux dont les mots ont un rapport entre eux, voire forment une phrase. Le plus connu de ce genre est censé être une lettre envoyée par un étudiant désargenté à ses parents : SEND + MORE = MONEY ¤ (send more money signifie « envoyez plus d'argent » en anglais). Ci-dessous d'autres exemples qui ont été trouvés par des amis ou par moi-même. En cliquant sur un cryptarithme il sera automatiquement copié dans la case en haut de cette page et vous verrez sa solution. Le symbole ¤ signifie que la solution est unique. Le nom indiqué entre parenthèses est celui de la personne qui me l'a signalé, qui n'est pas forcément l'auteur. Si vous en trouvez d'autres qui vous semblent dignes d'intérêt, notamment s'ils ne sont pas de simples additions, envoyez-les moi.

Cryptarithmes arithmétiques

Un cas particulier très prisé des amateurs est celui des opérations écrites en toutes lettres, qui sont exactes aussi bien quand on les lit en français que quand on les interprète comme des cryptarithmes. Par exemple NEUF + UN + UN = ONZE est vrai, et le reste si on effectue les substitutions E→9, F→7, N→1, O→2, U→8, Z→4 pour obtenir 1987 + 81 + 81 = 2149. En voici d'autres exemples :

Quel est le plus long cryptarithme ?

Le 29 novembre 2005, Éric Angelini annonça qu'il avait découvert (avec l'aide de Don Reble) un cryptarithme à solution unique comportant plus de neuf septillions de termes ! Ce record est présenté et expliqué en détail sur le site d'Éric.

La question se posa alors de savoir s'il existait des cryptarithmes de longueur aussi grande que l'on veut. En s'appuyant sur le résultat précédent et sur la nomenclature de Conway et Wechsler qui permet de donner un nom à tous les nombres entiers sans aucune limite, Patrick Coilland a répondu positivement le 4 décembre 2005. Son cryptarithme extensible à l'infini se présente ainsi :

UN_TRILLINILLINILLI...NILLITRILLION + HUIT + ZERO + ZERO + ... + ZERO = UN_TRILLINILLINILLI...NILLITRILLION_HUIT
(Le caractère « souligné » relie les mots qui sont normalement séparés dans l'écriture des nombres mais doivent être accolés pour le cryptarithme.)

L'élément NILLI apparaît p fois dans chacun des grands nombres, et le mot ZERO apparaît 573065554043040430...40430881555640 fois (la suite 40430 figure p fois dans ce nombre). Pour chaque valeur de p on obtient un cryptarithme différent, dont la solution unique est :

0123456789
NZIHOELTRU

Trois jours plus tard, Patrick Coilland améliorait encore cette performance avec un cryptarithme extensible à l'infini n'utilisant pas le ZERO. Ce cryptarithme « parfait » (forme « classique » avec une somme à gauche et un seul terme à droite, solution unique, pas de ZERO et nombre de termes non limité) se présente ainsi :

UN + UN + ... + UN + SIX + SIX + ... + SIX + SIX_TRILLINILLINILLI...NILLIMILLIONS = SIX_TRILLINILLINILLI...NILLIMILLIONS_SIX_TRILLINILLINILLI...NILLIMILLIONS

où les nombres de UN, de SIX et de NILLI doivent respecter des relations précises qui sont explicitées au bas de la page déjà citée d'Éric Angelini.

D'autres sites

Il existe de très nombreux sites Web en anglais consacrés aux cryptarithmes, avec ou sans possibilité de les résoudre « en ligne ». Vous pouvez commencer par exemple par celui de Naoyuki Tamura puis suivre ses liens.

Robert B. Israel propose une applet pour résoudre les cryptarithmes (qu'il appelle « alphametic ») faisant intervenir les quatre opérations et les puissances.

Pour composer vos propres cryptarithmes avec les mots qui vous intéressent, voyez le site de Truman Collins. Il comprend un générateur de problèmes très puissant ainsi qu'une vaste collection de cryptarithmes, y compris certains trouvés dans la Bible ou les œuvres de Shakespeare.


© Nicolas Graner – 2004 & 2013

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Dernière modification le 29/10/2014.